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<!DOCTYPE html>

<title>Funktion (Mathematik)</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Funktion (Mathematik)</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">In der <a href="Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a> ist eine Funktion (<a href="Latein" title="Latein">lateinisch</a> functio) oder Abbildung eine Beziehung (<a href="Relation_(Mathematik)" title="Relation (Mathematik)">Relation</a>) zwischen zwei <a href="Menge_(Mathematik)" title="Menge (Mathematik)">Mengen</a>, die jedem Element der einen Menge (Funktionsargument, unabhängige Variable, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">-Wert) genau ein Element der anderen Menge (Funktionswert, abhängige Variable, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy">-Wert) zuordnet. Der Funktionsbegriff wird in der Literatur unterschiedlich definiert, jedoch geht man generell von der Vorstellung aus, dass Funktionen <a href="Mathematisches_Objekt" title="Mathematisches Objekt">mathematischen Objekten</a> mathematische Objekte zuordnen, zum Beispiel jeder reellen Zahl deren Quadrat. Das Konzept der Funktion oder Abbildung nimmt in der modernen Mathematik eine zentrale Stellung ein; es enthält als Spezialfälle unter anderem <a href="Parametrische_Kurve" class="mw-redirect" title="Parametrische Kurve">parametrische Kurven</a>, <a href="Skalarfeld" title="Skalarfeld">Skalar-</a> und <a href="Vektorfeld" title="Vektorfeld">Vektorfelder</a>, <a href="Transformation_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Transformation (Mathematik)">Transformationen</a>, <a href="Verkn%C3%BCpfung_(Mathematik)" title="Verknüpfung (Mathematik)">Operationen</a>, <a href="Operator_(Mathematik)" title="Operator (Mathematik)">Operatoren</a> und vieles mehr.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Grundidee">Grundidee</h3></div>

Eine Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> ordnet jedem <a href="Element_(Mathematik)" title="Element (Mathematik)">Element</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> einer <a href="Definitionsmenge" title="Definitionsmenge">Definitionsmenge</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"> genau ein Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> einer <a href="Zielmenge" title="Zielmenge">Zielmenge</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}" loading="lazy"> zu.

Schreibweise:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon D\to Z,\;x\mapsto y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1c66c2254878a5303b2d23c0d19df22c0fa836a0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.31ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon D\to Z,\;x\mapsto y}" loading="lazy"> oder auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon {\begin{cases}D\to Z\\x\mapsto y\end{cases}}}">

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon {\begin{cases}D\to Z\\x\mapsto y\end{cases}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54d205717990bc2dcb0b23e8263c2d7175f6874a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:12.026ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle f\colon {\begin{cases}D\to Z\\x\mapsto y\end{cases}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Für das dem Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aaf3e2c3607ccf1c1d7ee6620b44ef9d9e2e1f6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.095ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in D}" loading="lazy"> zugeordnete Element der Zielmenge schreibt man im Allgemeinen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)}" loading="lazy">. Man bezeichnet <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)}" loading="lazy"> als den Funktionswert der Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> an der Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">, häufig sprachlich stark verkürzt zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">.

Anmerkungen:

<ul><li>Die Umkehrung gilt nicht: Ein Element der Zielmenge kann genau einem, mehreren, aber auch keinem Element der Definitionsmenge zugeordnet sein, in letzterem Fall gehört es nicht zur <a href="#Bild_und_Urbild">Bildmenge</a>.<a href="#cite_note-1">[1]</a> Beispiel: Die <a href="Betragsfunktion" title="Betragsfunktion">Betragsfunktion</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=|x|}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=|x|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/094ddc9667a7f47e36687c1d2a94d35c0c7d5c67.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.139ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=|x|}" loading="lazy"> ordnet den Zahlen +1 und −1 der Definitionsmenge die Zahl +1 der Zielmenge zu. Der Zahl +1 der Zielmenge sind also zwei Zahlen der Definitionsmenge zugeordnet. Andererseits ist der Zahl −2 keine Zahl der Definitionsmenge zugeordnet.</li>

<li>Oft ist an Stelle der Definitionsmenge zunächst eine Quellmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q}" loading="lazy"> gegeben. Wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> als Rechenvorschrift gegeben ist, erhält man die Definitionsmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D_{f}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D_{f}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13b8420d715315c8e8b57f178a1b3a8512bd0959.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.061ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D_{f}}" loading="lazy">, indem man von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q}" loading="lazy"> diejenigen Elemente ausschließt, für die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> nicht definiert ist. Siehe auch den Abschnitt „<a href="#Partielle_Funktionen">Partielle Funktionen</a>“.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Mengentheoretische_Definition">Mengentheoretische Definition</h3></div>

Mengentheoretisch ist eine Funktion eine spezielle <a href="Relation_(Mathematik)" title="Relation (Mathematik)">Relation</a>:

<dl><dd>Eine Funktion von der Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"> in die Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}" loading="lazy"> ist eine Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> mit den folgenden Eigenschaften:<a href="#cite_note-Halmos-2">[2]</a>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> ist eine Teilmenge des <a href="Kartesisches_Produkt" title="Kartesisches Produkt">kartesischen Produkts</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D\times Z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D\times Z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/18e97ac25da1139d5ecb173d4ab459d93709a8b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.445ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D\times Z}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}" loading="lazy">, d. h., <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> ist eine <a href="Relation_(Mathematik)" title="Relation (Mathematik)">Relation</a> zwischen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}" loading="lazy">.</li>

<li>Für jedes Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"> existiert mindestens ein Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}" loading="lazy">, sodass das <a href="Geordnetes_Paar" title="Geordnetes Paar">geordnete Paar</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/41cf50e4a314ca8e2c30964baa8d26e5be7a9386.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.328ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y)}" loading="lazy"> Element der Relation <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> ist. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> ist also linkstotal.</li>

<li>Zu jedem Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"> gibt es höchstens ein Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}" loading="lazy">, sodass das Paar <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/41cf50e4a314ca8e2c30964baa8d26e5be7a9386.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.328ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y)}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> liegt. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> ist damit rechtseindeutig oder funktional.</li></ul></dd></dl>

Die letzten beiden Eigenschaften lassen sich auch wie folgt zusammenfassen:

<dl><dd><ul><li>Zu jedem Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"> gibt es genau ein Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}" loading="lazy">, sodass das Paar <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/41cf50e4a314ca8e2c30964baa8d26e5be7a9386.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.328ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y)}" loading="lazy"> Element der Relation <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> ist.</li></ul></dd></dl>

Manchmal möchte man alle möglichen Funktionen von beliebigen Mengen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"> zu beliebigen Mengen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}" loading="lazy"> in einer Klasse zusammenfassen. Um dann Aussagen über etwa <a href="Surjektivit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Surjektivität">Surjektivität</a> zu treffen, muss der Kontext, also die Information, um welche <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}" loading="lazy"> es sich handelt, von den Objekten selbst mitgebracht werden. Der jeweilige Definitionsbereich lässt sich aus den Graphen rekonstruieren, der Zielbereich nicht. Eine minimale Kodierung wäre dann:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=(G,Z)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4ef305093160eb033bdd244b158293d2d09c91c1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.727ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f=(G,Z)}" loading="lazy">, bestehend aus einer Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}" loading="lazy"> und einer Menge von Paaren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G\subseteq D\times Z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G\subseteq D\times Z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/687c033c75b864465978eac6ce661e7975af9954.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.37ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle G\subseteq D\times Z}" loading="lazy"> mit einer weiteren Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy">, heißt Funktion von der Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}" loading="lazy">, wenn gilt: Zu jedem Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"> gibt es genau ein Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}" loading="lazy"> (geschrieben <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a5080a8b0a963407ea74ffa50702563771518d1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.672ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=y}" loading="lazy">), sodass das Paar <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/41cf50e4a314ca8e2c30964baa8d26e5be7a9386.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.328ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y)}" loading="lazy"> Element von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"> ist.</dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"> wird dann auch der <a href="Funktionsgraph" title="Funktionsgraph">Graph</a> der Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> genannt. Die Definitionsmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"> der Funktion ist dabei durch ihren Graphen eindeutig bestimmt und besteht aus den ersten Komponenten aller Elemente des Graphen. Stimmen zwei Funktionen in ihren Graphen überein, so sagt man auch, sie seien im Wesentlichen gleich. Insbesondere ist jede Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=(G,Z)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=(G,Z)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4ef305093160eb033bdd244b158293d2d09c91c1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.727ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f=(G,Z)}" loading="lazy"> im Wesentlichen gleich mit der surjektiven Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (G,W(f))}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (G,W(f))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87e6afa1b1d9715be616e1a42f81b9785229d6af.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.193ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (G,W(f))}" loading="lazy"> mit der Bildmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W(f):=\{y\in {Z}|\exists x\in {D}\mid (x,y)\in G\}}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W(f):=\{y\in {Z}|\exists x\in {D}\mid (x,y)\in G\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c81d50e1d9b61b6f0fe0384969b2aede00a6012f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:37.237ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle W(f):=\{y\in {Z}|\exists x\in {D}\mid (x,y)\in G\}}" loading="lazy">.

Findet man die Asymmetrie unschön, dass der Zielbereich angegeben wird, der Quellbereich aber nicht, definiert man die Objekte der Klasse als Tripel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=(G,D,Z)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=(G,D,Z)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/484fd284696f97e793bb69f90705a705e547f284.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.686ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f=(G,D,Z)}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notation">Notation</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Schreibweisen">Schreibweisen</h3></div>

Eine Zuordnung kann unter anderem in einer der folgenden Formen beschrieben werden:

<ul><li>Funktionsgleichung mit Definitionsmenge</li></ul>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=x^{2},\qquad x\in \mathbb {N} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b341ca73c1e166e0ce7e31276fedf6d5ae8cc6cc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.427ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)=x^{2},\qquad x\in \mathbb {N} }" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl>

<ul><li>Eindeutige Zuordnungsvorschrift (englisch: maplet) mit Definitionsmenge</li></ul>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\mapsto x^{2},\qquad x\in \mathbb {N} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/008d46982b4a7ae796cb376957be10f48c3355b3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.855ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x\mapsto x^{2},\qquad x\in \mathbb {N} }" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl>

<ul><li>Eindeutige Zuordnungsvorschrift mit Definitions- und Zielmenge</li></ul>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} ,\;x\mapsto x^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a238691a9d015aa4cf01f76ab9722af90d2a16d5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.29ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f\colon \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} ,\;x\mapsto x^{2}}" loading="lazy"> oder äquivalent <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon {\begin{cases}\mathbb {N} \to \mathbb {N} \\x\mapsto x^{2}\end{cases}}}">

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon {\begin{cases}\mathbb {N} \to \mathbb {N} \\x\mapsto x^{2}\end{cases}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8175c4fd2d9697c10c934f4db69b1e35462ba2df.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:12.135ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle f\colon {\begin{cases}\mathbb {N} \to \mathbb {N} \\x\mapsto x^{2}\end{cases}}}" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl>

<ul><li><a href="Familie_(Mathematik)" title="Familie (Mathematik)">Familienschreibweise</a> (mit der Bezeichnung Indexmenge für die Definitionsmenge)</li></ul>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (f_{x})_{x\in {\mathbb {N} }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1944bafdd8379f645cf90af8a5237615dd37239e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.576ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (f_{x})_{x\in {\mathbb {N} }}}" loading="lazy"><a href="#cite_note-3">[3]</a></dd></dl></dd></dl>

<ul><li>Wertetabelle (für endliche, aber auch <a href="Abz%C3%A4hlbare_Menge" title="Abzählbare Menge">abzählbar</a> unendliche Definitionsmengen)</li></ul>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">

</td>

<td style="width:2ex; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black">1

</td>

<td style="width:2ex; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black">2

</td>

<td style="width:2ex; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black">3

</td>

<td style="width:2ex; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black">4

</td>

<td style="width:2ex; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black">5

</td>

<td style="width:2ex; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black">6

</td>

<td style="width:2ex; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black">7

</td>

<td style="width:2ex; border-bottom:1px solid black">…

</td></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy">

</td>

<td style="border-right:1px solid black">1

</td>

<td style="border-right:1px solid black">4

</td>

<td style="border-right:1px solid black">9

</td>

<td style="border-right:1px solid black">16

</td>

<td style="border-right:1px solid black">25

</td>

<td style="border-right:1px solid black">36

</td>

<td style="border-right:1px solid black">49

</td>

<td>…

</td></tr></tbody></table></dd></dl>

<ul><li>Relation, insbesondere auch als beschrieben oder aufgezählt dargestellte Menge</li></ul>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=\{(x,x^{2})\mid x\in \mathbb {N} \}=\{(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),\ldots \}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e0784cda7f64269d9e0de4880465b229fe5019e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:55.162ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f=\{(x,x^{2})\mid x\in \mathbb {N} \}=\{(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),\ldots \}}" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl>

<ul><li>Zuordnungsvorschrift mit Fallunterscheidung, z. B.</li></ul>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mtext>falls </mtext>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mtext>sonst</mtext>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)={\begin{cases}x,&{\text{falls }}x\geq 0,\\-x,&{\text{sonst}}\end{cases}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf9f216c9c15bca39e1f1c0c13848ebd5cb6a9f0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:27.02ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)={\begin{cases}x,&{\text{falls }}x\geq 0,\\-x,&{\text{sonst}}\end{cases}}}" loading="lazy"></dd>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a9c6d458566aec47a7259762034790c8981aefab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.848ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in \mathbb {R} }" loading="lazy">.</dd></dl></dd></dl>

<ul><li>Ergebnis von Verknüpfungen und Operationen (zum Beispiel <a href="Komposition_(Mathematik)" title="Komposition (Mathematik)">Komposition</a>, Bildung der Umkehrfunktion, Ableitung u. Ä.), die auf andere Funktionen angewendet werden</li></ul>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=(g^{\prime }\circ h)^{-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8ded2f7442442273b4dd91870c780413cd6f50f3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.856ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f=(g^{\prime }\circ h)^{-1}}" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Sprechweisen">Sprechweisen</h3></div>

Für die Zuordnung eines Funktionswertes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> zu einem Argument <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> gibt es eine Reihe verschiedener Sprech- oder ausführlicher Schreibweisen, die alle mehr oder weniger gleichwertig sind und vor allem in Abhängigkeit von dem, was vordergründig ausgedrückt werden soll, vom jeweiligen Kontext, der benutzten Symbolik und auch vom Geschmack des Sprechers (Schreibers) gewählt werden. Hier einige Beispiele:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> wird abgebildet auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">.</dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> wird <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> eindeutig zugeordnet (vornehmlich, wenn das <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mapsto }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mapsto }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bc09de045e7d82eef9fe078e7e7606576640c11b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \mapsto }" loading="lazy">-Symbol in der Symbolik steht).</dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> gleich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> (vornehmlich, wenn ein Gleichheitszeichen in der Symbolik steht).</dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> ist das Bild von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> unter der Abbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy">.</dd></dl>

Davon zu unterscheiden ist die Sprech- und Schreibweise „<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> ist eine Funktion von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">“, die vor allem in der Physik sehr nahestehenden Bereichen der Mathematik auftaucht. Sie ist die ältere und ursprüngliche Sprech- und Schreibweise und beschreibt die Abhängigkeit einer Variablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> von einer anderen Variablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">, im Gegensatz dazu, dass mit Hilfe der Variablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> (stellvertretend) die Zuordnung bestimmter Elemente von Mengen beschrieben wird. Die „physikalische“ Sprechweise stammt von dem Vorgehen, zunächst zwei veränderlichen Größen (der physikalischen Realität) Symbole, nämlich die Variablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy">, zuzuordnen und danach deren Abhängigkeit festzustellen. Steht beispielsweise <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> für die Raumtemperatur und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> für die Zeit, so wird man feststellen können, dass sich die Raumtemperatur in Abhängigkeit von der Zeit ändert und somit „die Raumtemperatur eine Funktion der Zeit ist“ oder stellvertretend „<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> eine Funktion von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> ist“.

Statt Definitionsmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"> wird auch Definitionsbereich, Urbildmenge oder schlicht Urbild gesagt. Die Elemente von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"> heißen Funktionsargumente, Funktionsstellen oder Urbilder, umgangssprachlich auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">-Werte. Die Elemente der Zielmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}" loading="lazy"> heißen Zielwerte oder Zielelemente, umgangssprachlich auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy">-Werte. Diejenigen Elemente von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}" loading="lazy">, die tatsächlich auch als Bild eines Arguments auftreten, heißen Funktionswerte, Bildelemente oder schlicht Bilder. Sie bilden die Wertemenge oder den Wertebereich, der oft nur eine echte Teilmenge von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}" loading="lazy"> ist.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Darstellung">Darstellung</h2></div>

Eine Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d71097bf5f00c4116453f42be6ed7f74e74b3be8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.387ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a3891fd33958c3b7dc0dbd3e6861db3fbefeb66e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.559ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }" loading="lazy">, kann man visualisieren, indem man ihren Graphen in ein (zweidimensionales) <a href="Koordinatensystem" title="Koordinatensystem">Koordinatensystem</a> zeichnet. Der <a href="Funktionsgraph" title="Funktionsgraph">Funktionsgraph</a> einer Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> kann mathematisch definiert werden als die Menge aller Elementepaare <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/41cf50e4a314ca8e2c30964baa8d26e5be7a9386.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.328ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y)}" loading="lazy">, für die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=f(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2311a6a75c54b0ea085a381ba472c31d59321514.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.672ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y=f(x)}" loading="lazy"> ist. Der Graph einer <a href="Stetige_Funktion" title="Stetige Funktion">stetigen Funktion</a> auf einem zusammenhängenden Intervall bildet eine <a href="Zusammenh%C3%A4ngender_Raum" title="Zusammenhängender Raum">zusammenhängende</a> <a href="Kurve_(Mathematik)" title="Kurve (Mathematik)">Kurve</a> (genauer: Die Menge der Punkte der Kurve, aufgefasst als Unterraum des <a href="Topologischer_Raum" title="Topologischer Raum">topologischen Raumes</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e150115ab9f63023215109595b76686a1ff890fd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}" loading="lazy">, ist zusammenhängend).

Analog kann man Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} ^{2}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} ^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b7342a2d9653910eef7a1440aaa350dd3c9e71be.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.441ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} ^{2}}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a3891fd33958c3b7dc0dbd3e6861db3fbefeb66e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.559ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }" loading="lazy">, und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\colon U\to \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\colon U\to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81342f634c67bef3ca9463f531dcbde2c6a47523.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.225ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g\colon U\to \mathbb {R} }" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{2}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fe9946a63f58f9c4a6fa9706a8155299a40063c5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.613ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{2}}" loading="lazy">, visualisieren, indem man sie in ein dreidimensionales Koordinatensystem zeichnet. Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> stetig, so ergibt sich eine Kurve (die auch Ecken haben kann), die sich durch das Koordinatensystem „schlängelt“. Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> stetig, so ergibt sich eine Fläche als Bild, typischerweise in Form einer „Gebirgslandschaft“.

Computerprogramme zur Darstellung von Funktionen heißen <a href="Funktionenplotter" title="Funktionenplotter">Funktionenplotter</a>. Funktionsprogramme gehören auch zum Funktionsumfang von <a href="Computeralgebrasystem" title="Computeralgebrasystem">Computeralgebrasystemen</a> (CAS), matrizenfähigen Programmierumgebungen wie <a href="MATLAB" class="mw-redirect" title="MATLAB">MATLAB</a>, <a href="Scilab" title="Scilab">Scilab</a>, <a href="GNU_Octave" title="GNU Octave">GNU Octave</a> und anderen Systemen. Die wesentlichen Fähigkeiten eines Funktionenplotters sind auch auf einem graphikfähigen <a href="Taschenrechner" title="Taschenrechner">Taschenrechner</a> verfügbar. Es gibt auch browsergestützte Angebote.

<li class="gallerycaption">Beispiele einiger Funktionsgraphen</li>

<div class="gallerytext"><a href="Lineare_Funktion" title="Lineare Funktion">Lineare Funktion</a> (genauer: <a href="Affine_Abbildung" title="Affine Abbildung">affine Abbildung</a>)</div>

</li>

<div class="gallerytext"><a href="Polynom" title="Polynom">Polynomfunktion</a> 5. Grades</div>

</li>

<div class="gallerytext">Realteil der komplexen <a href="Exponentialfunktion" title="Exponentialfunktion">Exponentialfunktion</a></div>

</li>

<div class="gallerytext"><a href="Sinus_und_Kosinus" title="Sinus und Kosinus">Sinusfunktion</a></div>

</li>

<div class="gallerytext"><a href="Normalverteilung" title="Normalverteilung">Gaußsche Glockenkurven</a></div>

</li>

</ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Grundeigenschaften">Grundeigenschaften</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bild_und_Urbild">Bild und Urbild</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Bild_(Mathematik)" title="Bild (Mathematik)">Bild (Mathematik)</a> und <a href="Urbild_(Mathematik)" title="Urbild (Mathematik)">Urbild (Mathematik)</a></div>

Das Bild eines Elements <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> der Definitionsmenge ist einfach der Funktionswert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)}" loading="lazy">. Das Bild einer Funktion ist die Menge der Bilder aller Elemente der Definitionsmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy">, also

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(D):=\{f(x)\mid x\in D\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1514261761f3334d23e77d096329b9ab2a1001b4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.532ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(D):=\{f(x)\mid x\in D\}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Das Bild einer Funktion ist folglich eine Teilmenge der Zielmenge und wird Bild- oder Wertemenge genannt. Ist allgemeiner <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> eine Teilmenge von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy">, dann ist

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(S)=\{f(x)\mid x\in S\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/96b4acf73df67c13c4d4c7c4b95cb3095a69ad40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.035ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(S)=\{f(x)\mid x\in S\}}" loading="lazy"></dd></dl>

das Bild von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> unter der Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy">.

Das Urbild eines Elements <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> der Zielmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}" loading="lazy"> ist die Menge aller Elemente der Definitionsmenge, deren Bild <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> ist. Es ist

<msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \kappa _{f^{-1}}(y)=f^{-1}(\{y\})=\{x\in D\mid f(x)=y\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/df9534bc845814cb807469dc54fc5cd6f62838b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:41.507ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \kappa _{f^{-1}}(y)=f^{-1}(\{y\})=\{x\in D\mid f(x)=y\}}" loading="lazy">,</dd></dl>

(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{-1}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e5cfa2f5c08d6fe7d046b73faa6e3f213acc802.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.653ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f^{-1}}" loading="lazy"> ist im Allgemeinen keine eindeutige Funktion, sondern eine <a href="#Multifunktionen">Multifunktion</a>, zur Schreibweise <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \kappa _{f^{-1}}}">

<msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \kappa _{f^{-1}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/56f203c9468345068e6140b142edd097b0b40e88.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:4.375ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \kappa _{f^{-1}}}" loading="lazy"> siehe dort sowie bei <a href="Relation_(Mathematik)#Relationen_und_Funktionen" title="Relation (Mathematik)">Relation (Mathematik)#Relationen und Funktionen</a> und <a href="Korrespondenz_(Mathematik)" title="Korrespondenz (Mathematik)">Korrespondenz (Mathematik)</a>).

Oft werden diese <a href="Urbild_(Mathematik)#Definition" title="Urbild (Mathematik)">Fasern</a> einfach mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{-1}(y)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{-1}(y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8b357745fa4a2178733a502b4432072be8222fd4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.618ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f^{-1}(y)}" loading="lazy"> bezeichnet, was aber im Fall (eindeutig) umkehrbarer Funktionen einerseits x, andererseits {x} bezeichnet.

Das Urbild einer Teilmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> der Zielmenge ist die Menge aller Elemente der Definitionsmenge, deren Bild Element dieser Teilmenge ist:

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{-1}(T)=\{x\in D\mid f(x)\in T\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/baef7eb6a07d07a28bb3751efd74dfaa28114ae4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.448ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f^{-1}(T)=\{x\in D\mid f(x)\in T\}}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Injektivität,_Surjektivität,_Bijektivität">Injektivität, Surjektivität, Bijektivität</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Injektivit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Injektivität">Injektivität</a>, <a href="Surjektivit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Surjektivität">Surjektivität</a> und <a href="Bijektivit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Bijektivität">Bijektivität</a></div>

<ul><li>Eine Funktion ist <a href="Injektivit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Injektivität">injektiv</a>, wenn jedes Element der <a href="Zielmenge" title="Zielmenge">Zielmenge</a> höchstens ein Urbild hat – d. h., wenn gilt: Aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/35f10bca283601ed76d4517058b1d9e43eb65e35.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.042ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})}" loading="lazy"> folgt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1}=x_{2}.}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1}=x_{2}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/52aef8706f105f6ddf5706388027b255cd4e1326.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.513ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{1}=x_{2}.}" loading="lazy"></li>

<li>Sie ist <a href="Surjektivit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Surjektivität">surjektiv</a>, wenn jedes Element der <a href="Zielmenge" title="Zielmenge">Zielmenge</a> mindestens ein Urbild hat – d. h., wenn gilt: Zu jedem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> gibt es ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">, sodass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=y.}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=y.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de09d5f1e42dc957864c2d2321712e2e168c1298.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.318ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=y.}" loading="lazy"></li>

<li>Sie ist <a href="Bijektivit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Bijektivität">bijektiv</a>, wenn sie injektiv und surjektiv ist, wenn also jedes Element der Zielmenge genau ein Urbild hat.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Stelligkeit">Stelligkeit</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Stelligkeit" title="Stelligkeit">Stelligkeit</a></div>

Eine Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon D\to Z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon D\to Z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/70e09385942a0cc64216ddecd3a1e8254dbacf81.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.531ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon D\to Z}" loading="lazy">, deren Definitionsmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"> eine <a href="Produktmenge" class="mw-redirect" title="Produktmenge">Produktmenge</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D=A\times B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D=A\times B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de5cc94d566b3a4aa2e5b4af64a90798aba22491.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.37ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D=A\times B}" loading="lazy"> ist, heißt oft <a href="Zweistellige_Verkn%C3%BCpfung" title="Zweistellige Verknüpfung">zweistellig</a>. Den Wert von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy">, der bei Anwendung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> auf das Paar <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a,b)\in D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,b)\in D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6fa12bb2bbf5a06e953857b247cb9f511c0bd542.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.836ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a,b)\in D}" loading="lazy"> erhalten wird, schreibt man (unter Weglassung eines Klammernpaares) als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(a,b)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(a,b)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/408a449654fb6a8e6141ee6bbcb637efe3f9e4c7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.349ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(a,b)}" loading="lazy">.

Analoges gilt für höhere Stelligkeiten. Eine Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon A\times B\times C\to Z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\times B\times C\to Z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/44ccbdce51c205addb530a1f55510879c7ca8531.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.561ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\times B\times C\to Z}" loading="lazy"> bezeichnet man üblicherweise als dreistellig. Eine Funktion, deren Definitionsmenge keine Produktmenge ist (oder bei der die innere Struktur der Definitionsmenge keine Rolle spielt), bezeichnet man als einstellig. Unter einer nullstelligen Funktion versteht man eine Funktion, deren Definitionsmenge das <a href="Leeres_Produkt" title="Leeres Produkt">leere Produkt</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{()\}=\{\emptyset \}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{()\}=\{\emptyset \}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f978b29f8b2099755c455fba235fea0bc65ab646.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.72ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{()\}=\{\emptyset \}}" loading="lazy"> ist, bei einem beliebigen Funktionswert. Daher können nullstellige Funktionen als <a href="Mathematische_Konstante" title="Mathematische Konstante">Konstanten</a> aufgefasst werden, was bei <a href="Algebraische_Strukturen" class="mw-redirect" title="Algebraische Strukturen">algebraischen Strukturen</a> (wie auch bei <a href="Heterogene_Algebra" title="Heterogene Algebra">heterogenen Algebren</a>) Anwendung findet.

Statt nullstellig, einstellig, zweistellig, dreistellig sagt man auch oft unär, binär, ternär; Stelligkeit wird daher auch als „Arität“ (englisch: arity) bezeichnet.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Menge_der_Funktionen">Menge der Funktionen</h3></div>

Mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z^{D},\ {}^{D}Z,\ [D\to Z]}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z^{D},\ {}^{D}Z,\ [D\to Z]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d8a3efbec5b42fa81ba2142e9a623bc670681851.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.316ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle Z^{D},\ {}^{D}Z,\ [D\to Z]}" loading="lazy"><a href="#cite_note-noekla-4">[4]</a> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Abb} (D,Z)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Abb} (D,Z)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d87ac6bfb86de62527427bab1d80e795ddfb9fc5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.776ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Abb} (D,Z)}" loading="lazy"> wird die Menge aller Abbildungen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}" loading="lazy"> bezeichnet:

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z^{D}:=\{f\mid f\colon D\to Z\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e81eea2b6c5e0b13ec12e003b315c0c7690f80a4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.119ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle Z^{D}:=\{f\mid f\colon D\to Z\}}" loading="lazy"></dd></dl>

Für die <a href="M%C3%A4chtigkeit_(Mathematik)" title="Mächtigkeit (Mathematik)">Mächtigkeit</a> gilt

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left|Z^{D}\right|=|Z|^{|D|}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/812992d035c1f3eb398613c2105e06f76eff8059.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:13.175ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \left|Z^{D}\right|=|Z|^{|D|}}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Operationen">Operationen</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Einschränkung">Einschränkung</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Einschr%C3%A4nkung" title="Einschränkung">Einschränkung</a></div>

Die Einschränkung einer Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon A\to B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\to B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6dec1893560fabff9fa9c17b83b71f7f97996119.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.434ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\to B}" loading="lazy"> auf eine Teilmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"> der Definitionsmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> ist die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f|_{C}\colon C\to B}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f|_{C}\colon C\to B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8c51131f81d0940b43b29b0eb9780faca792c3f7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.585ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f|_{C}\colon C\to B}" loading="lazy">, deren Graph durch

<msub>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G_{f|_{C}}:=G_{f}\cap (C\times B)=\{(x,y)\in G_{f}\mid x\in C\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1abd81a91ddd6a0b7f64381bc3e3f9b7de15f2a1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:46.499ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle G_{f|_{C}}:=G_{f}\cap (C\times B)=\{(x,y)\in G_{f}\mid x\in C\}}" loading="lazy"></dd></dl>

gegeben ist.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Umkehrfunktion">Umkehrfunktion</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Umkehrfunktion" title="Umkehrfunktion">Umkehrfunktion</a></div>

Zu jeder bijektiven Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon A\to B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\to B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6dec1893560fabff9fa9c17b83b71f7f97996119.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.434ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\to B}" loading="lazy"> gibt es eine Umkehrfunktion

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{-1}\colon B\to A,\,y\mapsto f^{-1}(y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/067ca693a8ec26adf81b82de66a50d25f78e851f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.617ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f^{-1}\colon B\to A,\,y\mapsto f^{-1}(y)}" loading="lazy">,</dd></dl>

sodass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{-1}(y)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{-1}(y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8b357745fa4a2178733a502b4432072be8222fd4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.618ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f^{-1}(y)}" loading="lazy"> das eindeutig bestimmte Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/27bcc9b2afb295d4234bc294860cd0c63bcad2ca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.913ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in A}" loading="lazy"> ist, für das <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a5080a8b0a963407ea74ffa50702563771518d1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.672ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=y}" loading="lazy"> gilt. Die Umkehrfunktion erfüllt damit für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/27bcc9b2afb295d4234bc294860cd0c63bcad2ca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.913ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in A}" loading="lazy">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{-1}(f(x))=x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3935ccdf5e235ae36eec389d8b5a155c5159716c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.308ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f^{-1}(f(x))=x}" loading="lazy">.</dd></dl>

Bijektive Funktionen werden daher auch als eindeutig umkehrbare Funktionen bezeichnet.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Verkettung">Verkettung</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Komposition_(Mathematik)" title="Komposition (Mathematik)">Komposition (Mathematik)</a></div>

Zwei Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon A\to B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\to B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6dec1893560fabff9fa9c17b83b71f7f97996119.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.434ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\to B}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\colon B\to C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\colon B\to C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/02572d111e174b9ad0bf94d95d47c8e4f7d9649d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.294ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g\colon B\to C}" loading="lazy">, bei denen der Wertebereich der ersten Funktion mit dem Definitionsbereich der zweiten Funktion übereinstimmt (oder als Teilmenge enthalten ist), können verkettet werden. Die Verkettung oder Hintereinanderausführung dieser beiden Funktionen ist dann eine neue Funktion, die durch

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\circ f\colon A\to C,\,x\mapsto (g\circ f)(x):=g(f(x))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aad9280ec34f5a7e3504b41a309cb08ac0ff3a77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:39.737ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g\circ f\colon A\to C,\,x\mapsto (g\circ f)(x):=g(f(x))}" loading="lazy"></dd></dl>

gegeben ist. In dieser Notation steht meist die zuerst angewandte Abbildung rechts, das heißt, bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\circ f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\circ f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/10b5ad4985af48d0fb7efa3c8afa5ad7d42bfc92.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.589ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g\circ f}" loading="lazy"> wird zuerst die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> angewandt und dann die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> („g nach f“). Gelegentlich wird in der Literatur allerdings auch die umgekehrte Reihung verwendet und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (g\circ f)(x):=f(g(x))}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (g\circ f)(x):=f(g(x))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/684b0164afb94c363eb6c5caea69f2cf515ce0a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.626ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (g\circ f)(x):=f(g(x))}" loading="lazy"> geschrieben („g vor f“).

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Verknüpfung">Verknüpfung</h3></div>

Ist auf der Zielmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> eine <a href="Innere_zweistellige_Verkn%C3%BCpfung" class="mw-redirect" title="Innere zweistellige Verknüpfung">innere zweistellige Verknüpfung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle *\colon B\times B\to B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle *\colon B\times B\to B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af1a75be51fe3e460b9ca5d83677cfb4b23f4d14.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:13.943ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle *\colon B\times B\to B}" loading="lazy"> gegeben, so lässt sich auch für Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f,g\in B^{A}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f,g\in B^{A}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f32ae9dae990ffbaf86207bb6b88bbd30aa2dd8b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.498ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f,g\in B^{A}}" loading="lazy"> eine innere zweistellige Verknüpfung definieren:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f*g\colon A\to B,\,x\mapsto (f*g)(x):=f(x)*g(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5579feaf496b38a625e97e8a3fec477511592388.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:43.259ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f*g\colon A\to B,\,x\mapsto (f*g)(x):=f(x)*g(x)}" loading="lazy">.</dd></dl>

Beispiele hierfür sind die punktweise Addition und <a href="Punktweises_Produkt" title="Punktweises Produkt">Multiplikation von Funktionen</a>. Weiter lässt sich mit Hilfe einer <a href="%C3%84u%C3%9Fere_zweistellige_Verkn%C3%BCpfung" class="mw-redirect" title="Äußere zweistellige Verknüpfung">äußeren zweistelligen Verknüpfung</a> der Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle *\colon C\times B\to B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle *\colon C\times B\to B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5eafef32c22203076579362d31fdb99c144a7c15.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:13.945ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle *\colon C\times B\to B}" loading="lazy"> auch die Verknüpfung einer Funktion mit einem Element aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"> definieren:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c*f\colon A\to B,\,x\mapsto (c*f)(x):=c*f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ac9841fe6d87e8c5d17b70fe507a96026a1ee2ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:39.793ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle c*f\colon A\to B,\,x\mapsto (c*f)(x):=c*f(x)}" loading="lazy"></dd></dl>

Beispiel hierfür ist die punktweise Multiplikation einer Funktion mit einem <a href="Skalar_(Mathematik)" title="Skalar (Mathematik)">Skalar</a>. Analog lässt sich so auch eine äußere Verknüpfung der Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f*c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f*c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c953606fb3a56bbd891d409650688402da33bad6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.48ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f*c}" loading="lazy"> definieren. Sind Verknüpfungen der gleichen Art sowohl auf der Definitionsmenge als auch auf der Zielmenge gegeben, dann heißt eine Funktion <a href="Vertr%C3%A4glichkeit_(Mathematik)" title="Verträglichkeit (Mathematik)">verträglich</a> mit diesen Verknüpfungen, wenn sich die Bilder bezüglich der einen Verknüpfung genauso verhalten wie die Urbilder bezüglich der anderen Verknüpfung.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weitere_Eigenschaften">Weitere Eigenschaften</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Algebraische_Eigenschaften">Algebraische Eigenschaften</h3></div>

<ul><li>Eine Funktion ist <a href="Idempotenz" title="Idempotenz">idempotent</a>, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\circ f=f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\circ f=f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9172b7a50fccab6c28706005b1a6b8c5b16e9f0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.129ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\circ f=f}" loading="lazy"> – d. h., wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(f(x))=f(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(f(x))=f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38659935ace510e86dba5dcd12812ce033fb3d74.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.021ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(f(x))=f(x)}" loading="lazy"> für alle Elemente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> der Definitionsmenge gilt.</li>

<li>Sie ist eine <a href="Involution_(Mathematik)" title="Involution (Mathematik)">Involution</a>, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\circ f=\operatorname {id} }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\circ f=\operatorname {id} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/da9cba4bf623c30fda44fb6ac74d3fa4ed1b894c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.79ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\circ f=\operatorname {id} }" loading="lazy"> – d. h., wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(f(x))=x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(f(x))=x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d04c2f87b1313815142f4089bddf9881977e4bdf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.934ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(f(x))=x}" loading="lazy"> für alle Elemente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> der Definitionsmenge gilt.

<ul><li>Die <a href="Identische_Abbildung" title="Identische Abbildung">Identität</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\mapsto x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\mapsto x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/033c0ae81eaf4c65cbb0759d7aa2c4f434c00f02.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.273ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle x\mapsto x}" loading="lazy"> erfüllt natürlich diese Bedingung, wird aber in seltenen Fällen dennoch nicht als Involution angesehen.</li></ul></li>

<li>Ein <a href="Fixpunkt_(Mathematik)" title="Fixpunkt (Mathematik)">Fixpunkt</a> ist ein Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> der Definitionsmenge von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy">, für das <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(a)=a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(a)=a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/70ea63e918d829b0f0b20efc54b2b6d739af5143.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.646ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(a)=a}" loading="lazy"> gilt.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Analytische_Eigenschaften">Analytische Eigenschaften</h3></div>

<ul><li><a href="Beschr%C3%A4nktheit" class="mw-redirect" title="Beschränktheit">Beschränktheit</a></li>

<li><a href="Periodische_Funktion" title="Periodische Funktion">Periodizität</a></li>

<li><a href="Monotone_Abbildung" title="Monotone Abbildung">Monotonie</a></li>

<li><a href="Gerade_und_ungerade_Funktionen" title="Gerade und ungerade Funktionen">Symmetrie</a></li>

<li><a href="Stetige_Funktion" title="Stetige Funktion">Stetigkeit</a></li>

<li><a href="Differenzierbarkeit" title="Differenzierbarkeit">Differenzierbarkeit</a></li>

<li><a href="Glatte_Funktion" title="Glatte Funktion">Glattheit</a></li>

<li><a href="Holomorphie" class="mw-redirect" title="Holomorphie">Holomorphie</a></li>

<li><a href="Homogene_Funktion" title="Homogene Funktion">Homogenität</a></li>

<li><a href="Messbare_Funktion" title="Messbare Funktion">Messbarkeit</a></li>

<li><a href="Integralrechnung" title="Integralrechnung">Integrierbarkeit</a></li>

<li><a href="Konvexe_Funktion" class="mw-redirect" title="Konvexe Funktion">Konvexität</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Spezielle_Funktionen">Spezielle Funktionen</h2></div>

<ul><li><a href="Reellwertige_Funktion" title="Reellwertige Funktion">Reellwertige Funktion</a>, die sich dadurch auszeichnet, dass ihre Zielmenge <a href="Teilmenge" title="Teilmenge">innerhalb</a> der <a href="Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reellen Zahlen</a> liegt</li>

<li><a href="Komplexwertige_Funktion" title="Komplexwertige Funktion">Komplexwertige Funktion</a>, die sich dadurch auszeichnet, dass ihre Zielmenge <a href="Teilmenge" title="Teilmenge">innerhalb</a> der <a href="Komplexe_Zahl" title="Komplexe Zahl">komplexen Zahlen</a> liegt</li>

<li>Homogene <a href="Lineare_Funktion" title="Lineare Funktion">lineare Funktion</a> (auch: <a href="Proportional" class="mw-redirect" title="Proportional">Proportionalität</a>): allgemein beschrieben durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=mx}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=mx}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/10f0d3e110d8da960bf9300287df68165a7286b5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.886ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=mx}" loading="lazy">; ist ein <a href="Homomorphismus" title="Homomorphismus">Homomorphismus</a> bezüglich der Addition</li>

<li>Allgemeine <a href="Lineare_Funktion" title="Lineare Funktion">lineare Funktion</a> (oder affine Funktion): allgemein beschrieben durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=ax+b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=ax+b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75c655df4be41082c4bba924beab2c1dc27d019c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.913ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=ax+b}" loading="lazy">; siehe auch <a href="Affine_Abbildung" title="Affine Abbildung">affine Abbildung</a></li>

<li><a href="Quadratische_Funktion" title="Quadratische Funktion">Quadratische Funktion</a>: allgemein beschrieben durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/66fca4dfe28e7b4a4a336578daaab18c87397073.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.145ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}" loading="lazy"> (s. <a href="Quadratische_Gleichung" title="Quadratische Gleichung">Quadratische Gleichung</a>)</li>

<li><a href="Potenzfunktion" title="Potenzfunktion">Potenzfunktion</a></li>

<li><a href="Polynomfunktion" class="mw-redirect" title="Polynomfunktion">Polynomfunktion</a>, auch ganzrationale Funktion: allg. beschrieben durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a8df67ee0fb103d19e0109c17c77bba1a7a15af.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:41.693ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}}" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=\textstyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}">

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=\textstyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c48bc598fb0e653461fb32c277433bd96cf114e7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:17.416ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)=\textstyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}" loading="lazy"></li>

<li><a href="Rationale_Funktion" title="Rationale Funktion">Rationale Funktion</a>, insbesondere gebrochen-rationale Funktion: Quotient zweier Polynomfunktionen, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=g(x)/h(x)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=g(x)/h(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/63c0734ea3e4a16316fe9449c5af40b7e13ff957.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.411ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=g(x)/h(x)}" loading="lazy"></li>

<li><a href="Wurzelfunktion" class="mw-redirect" title="Wurzelfunktion">Wurzelfunktion</a>: Umkehrung der Potenzfunktionen und selbst Potenzfunktion</li>

<li><a href="Exponentialfunktion" title="Exponentialfunktion">Exponentialfunktion</a></li>

<li><a href="Logarithmus" title="Logarithmus">Logarithmus</a></li>

<li><a href="Trigonometrische_Funktion" title="Trigonometrische Funktion">Trigonometrische Funktion</a>: <a href="Sinus_und_Kosinus" title="Sinus und Kosinus">sin</a>, <a href="Sinus_und_Kosinus" title="Sinus und Kosinus">cos</a>, <a href="Tangens" class="mw-redirect" title="Tangens">tan</a>, <a href="Kotangens" class="mw-redirect" title="Kotangens">cot</a>, <a href="Sekans" class="mw-redirect" title="Sekans">sec</a>, <a href="Kosekans" class="mw-redirect" title="Kosekans">csc</a></li>

<li><a href="Absoluter_Betrag" class="mw-redirect" title="Absoluter Betrag">Betragsfunktion</a></li>

<li><a href="Maximumsfunktion" class="mw-redirect" title="Maximumsfunktion">Maximumsfunktion</a> und <a href="Minimumsfunktion" class="mw-redirect" title="Minimumsfunktion">Minimumsfunktion</a></li>

<li><a href="Gau%C3%9Fklammer" class="mw-redirect" title="Gaußklammer">Gaußsche Ganzzahlfunktion</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Funktionale">Funktionale</h3></div>

Vor allem in der <a href="Funktionalanalysis" title="Funktionalanalysis">Funktionalanalysis</a> finden Funktionale große Anwendung. Als <a href="Funktional" title="Funktional">Funktional</a> bezeichnet man eine Funktion, deren <a href="Definitionsmenge" title="Definitionsmenge">Definitionsmenge</a> als Teilmenge in einem <a href="Vektorraum" title="Vektorraum">Vektorraum</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> enthalten ist, während ihre <a href="Zielmenge" title="Zielmenge">Zielmenge</a> im zugehörigen <a href="Skalark%C3%B6rper" class="mw-redirect" title="Skalarkörper">Skalarkörper</a> liegt.

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {K} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {K} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1848c435e64864e9ad4efa7e46bd6bc900c35c99.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {K} }" loading="lazy">-<a href="Vektorraum" title="Vektorraum">Vektorraum</a> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4d1dfbdbc9f282a890a4539ce701c2029c1e1820.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.364ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}" loading="lazy">. Ein Funktional <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> ist eine Abbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\colon V\to \mathbb {K} .}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\colon V\to \mathbb {K} .}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88808df568f889369a969a354c3a115d31c5b0c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.526ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T\colon V\to \mathbb {K} .}" loading="lazy"> Funktionale können somit als Argumente selbst Funktionen haben.

Ein lineares Funktional auf dem Vektorraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {F}}(\mathbb {R} ,\mathbb {K} )}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {F}}(\mathbb {R} ,\mathbb {K} )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bb97cbbbd6bd3e112869c84b913216e2815fc45e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.256ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {F}}(\mathbb {R} ,\mathbb {K} )}" loading="lazy">, der Funktionen auf der reellen Achse, ist bspw. das Auswertungsfunktional an der Stelle Null

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta \colon {\mathcal {F}}(\mathbb {R} ,\mathbb {K} )\to \mathbb {K} ,\quad f\mapsto \delta [f]:=f(0).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ea421cc54fb02979ec7207087a73c3a0fdcfc817.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:36.273ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \delta \colon {\mathcal {F}}(\mathbb {R} ,\mathbb {K} )\to \mathbb {K} ,\quad f\mapsto \delta [f]:=f(0).}" loading="lazy"></dd></dl>

Dieses Funktional heißt <a href="Delta-Distribution" title="Delta-Distribution">Delta-Distribution</a> oder Dirac-Delta.

Ein anderes Beispiel ist das Funktional

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{u}\colon L_{2}(-1,1)\to \mathbb {K} ,\quad f_{u}:=\langle u,\cdot \rangle _{L_{2}(-1,1)},\quad u\in L_{2}(-1,1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7b2a8a7d2a2838668638e357b5255dda68a59b59.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:56.597ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f_{u}\colon L_{2}(-1,1)\to \mathbb {K} ,\quad f_{u}:=\langle u,\cdot \rangle _{L_{2}(-1,1)},\quad u\in L_{2}(-1,1)}" loading="lazy">,</dd></dl>

das jeder <a href="Lp-Raum" title="Lp-Raum">quadratintegrierbaren Funktion</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w\in L_{2}(-1,1)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w\in L_{2}(-1,1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9f13e71f751660187b61754e09adc53b81c8e727.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.118ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle w\in L_{2}(-1,1)}" loading="lazy"> den Wert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{u}(w)=\langle u,w\rangle _{L_{2}(-1,1)}\in \mathbb {K} }">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{u}(w)=\langle u,w\rangle _{L_{2}(-1,1)}\in \mathbb {K} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68d6a2ecf11e92a36d78e033b9832b4fafc1d104.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:26.212ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f_{u}(w)=\langle u,w\rangle _{L_{2}(-1,1)}\in \mathbb {K} }" loading="lazy"> zuordnet.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Matrixfunktionen">Matrixfunktionen</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Matrixfunktion" title="Matrixfunktion">Matrixfunktion</a></div>

Matrixfunktionen sind Funktionen, welche als Funktionsargument eine <a href="Matrix_(Mathematik)" title="Matrix (Mathematik)">Matrix</a> besitzen, das heißt, für eine Matrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> kann <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(M)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(M)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/838e63aefd54118a54c25fd9f0ef22528a69e36c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.53ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(M)}" loading="lazy"> gebildet werden. In der Regel beschränkt man solche Funktionen auf <a href="Quadratische_Matrix" class="mw-redirect" title="Quadratische Matrix">quadratische Matrizen</a>. Im einfachen Fall ist der Funktionswert ein Skalar, dieser Fall ist oft selbsterklärend. Häufig meint man aber mit Matrixfunktion explizit den Fall, wenn der Funktionswert wieder eine Matrix ist, das heißt

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f:\mathbb {C} ^{n\times n}\to \mathbb {C} ^{n\times n}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0f3da8a723603766a44c8850206a9a40cdb5f27.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.799ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle f:\mathbb {C} ^{n\times n}\to \mathbb {C} ^{n\times n}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Klassische Funktionen können auf solche Matrixfunktionen verallgemeinert werden. Es gibt dafür unterschiedliche Ansätze, solche Funktionen zu definieren. In der Mathematik spielen aber nur die Ansätze eine wesentliche Rolle, bei denen die Regeln der <a href="Algebra_%C3%BCber_einem_K%C3%B6rper" title="Algebra über einem Körper">Matrizen-Algebra</a> weiterhin gelten. Dies schließt insbesondere den Fall aus, wo man die Funktion auf jedes Element der Matrix anwendet, da dies die Regeln der Matrix-Algebra bricht.<a href="#cite_note-5">[5]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendungen">Anwendungen</h2></div>

Ein fundamentales Konzept in der Mathematik stellen <a href="Mathematische_Struktur" title="Mathematische Struktur">Strukturen</a> dar, die dadurch entstehen, dass Mengen in Verbindung mit dazugehörigen Abbildungen gesehen werden. Derartige Strukturen bilden die Grundlage praktisch aller mathematischen Disziplinen, sobald sie über elementare Mengenlehre, kombinatorische Probleme oder grundlegende mathematisch-philosophische Fragestellungen hinausgehen.

Mengen können beispielsweise durch sogenannte <a href="Verkn%C3%BCpfung_(Mathematik)" title="Verknüpfung (Mathematik)">Verknüpfungen</a> strukturiert werden. Der wichtigste Spezialfall ist die innere <a href="Zweistellige_Verkn%C3%BCpfung" title="Zweistellige Verknüpfung">zweistellige Verknüpfung</a>, dabei handelt es sich um eine Abbildung der Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon A\times A\rightarrow A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\times A\rightarrow A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/09f422b92ecaac92613e8eb863151e2c6d6ad7bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.996ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\times A\rightarrow A}" loading="lazy">. Beispiele für innere zweistellige Verknüpfungen sind Rechenoperationen wie die Addition oder Multiplikation auf Zahlenmengen. Dementsprechend wird das Bild <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle *(x,y)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle *(x,y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fded5aa3d04d29cbb61aaea05a8f8287129ed844.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.491ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle *(x,y)}" loading="lazy"> eines Paares <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/41cf50e4a314ca8e2c30964baa8d26e5be7a9386.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.328ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y)}" loading="lazy"> unter einer Verknüpfung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle *}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle *}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e9972f426d9e07855984f73ee195a21dbc21755.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0.079ex; margin-bottom: -0.25ex; width:1.162ex; height:1.509ex;" alt="{\displaystyle *}" loading="lazy"> üblicherweise in der Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x*y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x*y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6fa45646c7b928fea01251f5fd07ed3e5838900a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.68ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x*y}" loading="lazy"> geschrieben.

Weitere wichtige Beispiele solcher Strukturen sind <a href="Algebraische_Struktur" title="Algebraische Struktur">algebraische</a>, <a href="Geometrie" title="Geometrie">geometrische</a> und <a href="Topologie_(Mathematik)" title="Topologie (Mathematik)">topologische</a> Strukturen, wie beispielsweise <a href="Skalarprodukt" title="Skalarprodukt">Skalarprodukte</a>, <a href="Norm_(Mathematik)" title="Norm (Mathematik)">Normen</a> und <a href="Metrik_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Metrik (Mathematik)">Metriken</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Begriffsgeschichte">Begriffsgeschichte</h2></div>

Erste Ansätze zu einer impliziten Verwendung des Funktionsbegriffs in Tabellenform (Schattenlänge abhängig von der Tageszeit, Sehnenlängen abhängig vom Zentriwinkel etc.) sind bereits in der Antike zu erkennen. Den ersten Beleg einer expliziten Definition des Funktionsbegriffs findet man bei <a href="Nikolaus_von_Oresme" title="Nikolaus von Oresme">Nikolaus von Oresme</a>, der im 14. Jahrhundert Abhängigkeiten sich ändernder Größen (Wärme, Bewegung etc.) graphisch durch senkrecht aufeinander stehende Strecken (longitudo, latitudo) darstellte.<a href="#cite_note-6">[6]</a> Am Beginn des Prozesses zur Entwicklung des Funktionsbegriffs stehen <a href="Ren%C3%A9_Descartes" title="René Descartes">Descartes</a> und <a href="Pierre_de_Fermat" title="Pierre de Fermat">Fermat</a>, die mit Hilfe der von <a href="Fran%C3%A7ois_Vi%C3%A8te" title="François Viète">Vieta</a> eingeführten <a href="Variable_(Mathematik)" title="Variable (Mathematik)">Variablen</a> die analytische Methode der Einführung von Funktionen entwickelten.<a href="#cite_note-7">[7]</a> Funktionale Abhängigkeiten sollten durch Gleichungen wie zum Beispiel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=x^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=x^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ad1108c4c9ee8ac7de90b77f9bd27415b13b6bf1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.638ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle y=x^{2}}" loading="lazy"> dargestellt werden. In der Schulmathematik wurde dieser naive Funktionsbegriff bis weit in die zweite Hälfte des 20. Jahrhunderts beibehalten. Die erste Umschreibung des Funktionsbegriffs nach dieser Idee stammt von <a href="James_Gregory_(Mathematiker)" title="James Gregory (Mathematiker)">Gregory</a> in seinem 1667 erschienenen Buch Vera circuli et hyperbolae quadratura. Der Begriff Funktion kommt wohl erstmals 1673 in einem Manuskript von <a href="Gottfried_Wilhelm_Leibniz" title="Gottfried Wilhelm Leibniz">Leibniz</a> vor, der in seiner Abhandlung von 1692 De linea ex lineis numero infinitis ordinatim ductis auch die Begriffe „Konstante“, „Variable“, „Ordinate“ und „Abszisse“ benutzt. Im Schriftwechsel zwischen Leibniz und <a href="Johann_I_Bernoulli" title="Johann I Bernoulli">Johann I Bernoulli</a> wird der Funktionsbegriff von der Geometrie losgelöst und in die Algebra übertragen. In Beiträgen von 1706, 1708 und 1718 stellt Bernoulli diese Entwicklung dar. 1748 präzisiert <a href="Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Leonhard Euler</a>, ein Schüler Johann Bernoullis, in seinem Buch <a href="Introductio_in_analysin_infinitorum" title="Introductio in analysin infinitorum">Introductio in analysin infinitorum</a> den Funktionsbegriff weiter.<a href="#cite_note-8">[8]</a>

Bei Euler findet man zwei verschiedene Erklärungen des Funktionsbegriffs: Zum einen stellt jeder „analytische Ausdruck“ in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> eine Funktion dar, zum anderen wird <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e871993bfd131a8b0c3591c26084cf8171a74dcd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.294ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y(x)}" loading="lazy"> im Koordinatensystem durch eine freihändig gezeichnete Kurve definiert.<a href="#cite_note-9">[9]</a> 1755 formuliert er diese Vorstellungen ohne Verwendung des Terminus „analytischer Ausdruck“ um. Außerdem führte er bereits 1734 die Schreibweise <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)}" loading="lazy"> ein. Er unterscheidet zwischen eindeutigen und mehrdeutigen Funktionen. Bei Euler ist damit auch die Umkehrung der <a href="Normalparabel" title="Normalparabel">Normalparabel</a>, bei der jeder nichtnegativen reellen Zahl sowohl ihre positive als auch ihre negative Wurzel zugeordnet wird, als Funktion zugelassen. Für <a href="Joseph-Louis_Lagrange" title="Joseph-Louis Lagrange">Lagrange</a> sind nur Funktionen zulässig, die durch Potenzreihen definiert sind, wie er 1797 in seiner Théorie des fonctions analytiques festlegt. Eine fruchtbare Auseinandersetzung über das Bewegungsgesetz einer schwingenden Saite, zu dem <a href="Jean-Baptiste_le_Rond_d%E2%80%99Alembert" title="Jean-Baptiste le Rond d’Alembert">d’Alembert</a> 1747, Euler 1748 und <a href="Daniel_Bernoulli" title="Daniel Bernoulli">Daniel Bernoulli</a> 1753 unterschiedliche Lösungen vorstellten, führte zur Entdeckung der <a href="Definitionsmenge" title="Definitionsmenge">Definitionsmenge</a> und einem weiter präzisierten Funktionsbegriff, in dem schon so etwas wie eindeutige Zuordnung umschrieben wird, durch <a href="Joseph_Fourier" title="Joseph Fourier">Fourier</a> in seinem 1822 erschienenen Buch Théorie analytique de la chaleur. Ähnliches formuliert <a href="Augustin-Louis_Cauchy" title="Augustin-Louis Cauchy">Cauchy</a> 1823 in Résumé des leçons … sur le calcul infinitésimal.

Als die <a href="Analysis" title="Analysis">Analysis</a> im 19. Jahrhundert mit einem exakten <a href="Grenzwert_(Funktion)" title="Grenzwert (Funktion)">Grenzwertbegriff</a> auf eine neue Grundlage gestellt wurde, wurden Eigenschaften, die bisher als für Funktionen konstituierend aufgefasst wurden, in einem Exaktifizierungsprozess vom Funktionsbegriff losgelöst und als selbständige Begriffe eingeführt. <a href="Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet" title="Peter Gustav Lejeune Dirichlet">Dirichlet</a>, ein Schüler Fouriers, formulierte diese neue Sicht: „Ideen an die Stelle von Rechnungen“ und stellte 1837 seine Ideen dar. <a href="George_Gabriel_Stokes" title="George Gabriel Stokes">Stokes</a> führte in Arbeiten 1848 und 1849 ähnliche Ansichten aus. So verfuhr <a href="Bernhard_Riemann" title="Bernhard Riemann">Riemann</a>, Schüler von Dirichlet, 1851 in Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Größe mit der Stetigkeit, später folgten Integrierbarkeit und Differenzierbarkeit. Eine Zusammenfassung dieser Entwicklung macht <a href="Hermann_Hankel" title="Hermann Hankel">Hankel</a> 1870 in Untersuchungen über die unendlich oft oscillierenden und unstetigen Functionen. Auch hier wird noch nicht zwischen der Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> und dem Funktionswert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)}" loading="lazy"> an der Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> unterschieden.<a href="#cite_note-10">[10]</a>

<a href="Weierstra%C3%9F" class="mw-redirect" title="Weierstraß">Weierstraß</a>, <a href="Richard_Dedekind" title="Richard Dedekind">Dedekind</a> und andere entdeckten, dass Grenzwerte unendlicher Folgen „klassischer“ Funktionen sprunghaft sein können und sich nicht immer durch „geschlossene“ Formeln, d. h. mit endlich vielen Rechenoperationen, ausdrücken lassen. Das erzwang eine schrittweise Ausweitung des Funktionsbegriffs.

Davon unabhängig wurde im 19. Jahrhundert die <a href="Gruppentheorie" title="Gruppentheorie">Gruppentheorie</a> begründet, mit der man systematisch untersuchen kann, wie sich <a href="Algebraische_Gleichung" title="Algebraische Gleichung">algebraische Gleichungen</a> unter der Wirkung aufeinanderfolgender Transformationen verändern. Bei der Anwendung dieser Theorie auf geometrische Probleme wurden gleichbedeutend mit Transformation auch die Begriffe Bewegung und Abbildung gebraucht.

Als Anfang des 20. Jahrhunderts die Grundlagen der Mathematik einheitlich in der Sprache der <a href="Mengenlehre" title="Mengenlehre">Mengenlehre</a> formuliert wurden, stellten sich die mathematischen Begriffe Funktion und Abbildung als deckungsgleich heraus. Im Sprachgebrauch wirken die unterschiedlichen Traditionen jedoch fort. In der Analysis spricht man heute häufig noch von Funktionen, während man in der Algebra und in der Geometrie von Abbildungen spricht. Einige Mathematiker unterscheiden auch heute noch streng zwischen einer Abbildung und einer Funktion. Sie verstehen unter einer Funktion eine Abbildung in den reellen oder komplexen <a href="Zahlenk%C3%B6rper" class="mw-redirect" title="Zahlenkörper">Zahlenkörper</a> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" loading="lazy"> bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }" loading="lazy">) oder auch <a href="Kartesisches_Produkt#Produkt_endlich_vieler_Mengen" title="Kartesisches Produkt">Potenzen</a> davon (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a53b4e76242764d1bca004168353c380fef25258.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}" loading="lazy">), andererseits ist es in der <a href="Boolesche_Algebra" title="Boolesche Algebra">Booleschen Algebra</a> gebräuchlich, von <a href="Boolesche_Funktion" title="Boolesche Funktion">Booleschen Funktionen</a> zu sprechen.

Weitere Synonyme für Funktion in spezielleren Zusammenhängen sind unter anderem <a href="Operator_(Mathematik)" title="Operator (Mathematik)">Operator</a> in der Analysis, Operation, <a href="Verkn%C3%BCpfung_(Mathematik)" title="Verknüpfung (Mathematik)">Verknüpfung</a> und (etwas verallgemeinert) <a href="Morphismus" title="Morphismus">Morphismus</a> in der Algebra.

Heute beschränken manche Autoren den Funktionsbegriff (genauso wie den Relationsbegriff) nicht unbedingt auf Mengen, sondern lassen jede aus <a href="Geordnetes_Paar" title="Geordnetes Paar">geordneten Paaren</a> bestehende <a href="Klasse_(Mengenlehre)" title="Klasse (Mengenlehre)">Klasse</a>, die keine verschiedenen Elemente mit gleicher linker Komponente enthält, als Funktion gelten.<a href="#cite_note-11">[11]</a><a href="#cite_note-12">[12]</a> Mengentheoretisch ausgedrückt werden Funktionen also als <a href="Relation_(Mathematik)#Relationen_und_Funktionen" title="Relation (Mathematik)">rechtseindeutige Relationen</a> definiert.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Verallgemeinerungen">Verallgemeinerungen</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Multifunktionen">Multifunktionen</h3></div>

Eine <a href="Korrespondenz_(Mathematik)" title="Korrespondenz (Mathematik)">Multifunktion</a> (auch mehrwertige Funktion oder Korrespondenz genannt) ist eine linkstotale Relation. Das heißt, die Elemente der Definitionsmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> können auf mehrere Elemente der Zielmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> abgebildet werden. Man schreibt auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon X\multimap Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon X\multimap Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d921e13601ddf5df45642f4bde576139a46b5f72.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.938ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon X\multimap Y}" loading="lazy">.

Wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> eine Menge ist, dann kann man jede Multifunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon X\multimap Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon X\multimap Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d921e13601ddf5df45642f4bde576139a46b5f72.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.938ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon X\multimap Y}" loading="lazy"> auch als eine Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \kappa _{f}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \kappa _{f}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fdc7d361fdfc25e18a91c1ad098cbafed86a8e06.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.475ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \kappa _{f}}" loading="lazy"> darstellen, die in die Potenzmenge von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> geht:<a href="#cite_note-13">[13]</a>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \kappa _{f}\colon X\rightarrow {\mathcal {P}}(Y),\ x\mapsto \{y\in {Y}\mid (x,y)\in G_{f}\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eee8dff507b290dbb974691f6bf662d0c7a4168e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:42.112ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \kappa _{f}\colon X\rightarrow {\mathcal {P}}(Y),\ x\mapsto \{y\in {Y}\mid (x,y)\in G_{f}\}}" loading="lazy"></dd></dl>

Im Fall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y=X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y=X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/213f9e0bf2b88042d7d90cf9e765ae8201743d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.852ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Y=X}" loading="lazy"> stellt eine mehrwertige Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> eine <a href="Transitionsrelation" title="Transitionsrelation">Transitionsrelation</a> dar, und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \kappa _{f}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \kappa _{f}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fdc7d361fdfc25e18a91c1ad098cbafed86a8e06.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.475ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \kappa _{f}}" loading="lazy"> ist die zugehörige Transitionsfunktion.

Die Verkettung von Multifunktionen lässt sich genauso definieren wie für (eindeutige) Funktionen, mengentheoretisch ist dies äquivalent einer <a href="Relation_(Mathematik)#Verkettung_von_Relationen" title="Relation (Mathematik)">Verkettung zweier zweistelliger Relationen</a>.<a href="#cite_note-HKönig_S21-14">[14]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Umkehrungen_von_Funktionen_als_Multifunktionen">Umkehrungen von Funktionen als Multifunktionen</h3></div>

Ein Beispiel für Multifunktionen sind die Umkehrfunktionen (Umkehrungen) von nicht injektiven Funktionen. Wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6f986e95e93b70de25a0084daf075cb02c3ccae8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.68ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}" loading="lazy"> surjektiv ist, gilt automatisch: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{-1}\colon Y\multimap X}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{-1}\colon Y\multimap X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/97c4347cf77505dd53fcf8a14f6fdefed15c0575.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.312ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f^{-1}\colon Y\multimap X}" loading="lazy"> ist eine Multifunktion. Die Darstellung der Umkehrfunktion in die Potenzmenge von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> liefert mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \kappa _{f^{-1}}(y)}">

<msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \kappa _{f^{-1}}(y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b0812c230b7f80a1270c14b5cc3ea0c57c6327bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:7.339ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \kappa _{f^{-1}}(y)}" loading="lazy"> die Fasern von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> (<a href="#Bild_und_Urbild">siehe oben</a>).

Die Verkettung einer Funktion mit ihrer (im Allgemeinen nicht eindeutigen) Umkehrung in der Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{-1}\circ f}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{-1}\circ f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4c92786c86f48b86694c9ddf911857e56164e323.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.127ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f^{-1}\circ f}" loading="lazy"> ist eine Äquivalenzrelation,<a href="#cite_note-15">[15]</a> die durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> induzierte Äquivalenzrelation. Zwei Elemente aus dem Definitionsbereich sind genau dann äquivalent, wenn sie denselben Funktionswert haben.<a href="#cite_note-HKönig_S21-14">[14]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Partielle_Funktionen">Partielle Funktionen</h3></div>

Wohl zu unterscheiden vom Begriff der Funktion ist der Begriff der <a href="Partielle_Funktion" title="Partielle Funktion">partiellen Funktion</a>, man spricht auch von einer „nicht überall definierten Funktion“ oder „<a href="Relation_(Mathematik)#Eigenschaften_zweistelliger_Relationen" title="Relation (Mathematik)">funktionalen Relation</a>“. Hier darf es Elemente der Quellmenge (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">-Werte) geben, denen kein Wert der Zielmenge (kein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy">-Wert) zugeordnet ist. Hier ist dann die Nennung der Quellmenge in der obigen Tripelschreibweise tatsächlich notwendig. Allerdings darf es auch dort für einen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">-Wert nicht mehr als einen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy">-Wert geben. Um partielle Funktionen von Funktionen zu unterscheiden, bezeichnet man Letztere auch als totale oder überall definierte Funktionen.

Die Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [D\rightharpoonup Z]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [D\rightharpoonup Z]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ad0c804a555ba1b55160981ae0e4384eaa84c3c1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.512ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [D\rightharpoonup Z]}" loading="lazy"><a href="#cite_note-noekla-4">[4]</a> der partiellen Abbildungen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}" loading="lazy"> ist die Vereinigung der totalen Abbildungen von Teilmengen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}" loading="lazy">:

</mrow>

</munder>

</mrow>

</munder>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [D\rightharpoonup Z]=\bigcup \limits _{X\subseteq {D}}[X\to Z]=\bigcup \limits _{X\subseteq {D}}Z^{X}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/49acf8342679017f23cf89d4e5e218788a8d7154.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:35.084ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle [D\rightharpoonup Z]=\bigcup \limits _{X\subseteq {D}}[X\to Z]=\bigcup \limits _{X\subseteq {D}}Z^{X}}" loading="lazy"></dd></dl>

Sind die Mengen endlich, so gilt für ihre Kardinalzahlen

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left|[D\rightharpoonup Z]\right|=(|Z|+1)^{|D|}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e63327c2efce22d696c88445af6e9d7183f615c0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.198ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \left|[D\rightharpoonup Z]\right|=(|Z|+1)^{|D|}}" loading="lazy">,</dd></dl>

schließlich kann man jede partielle Abbildung auf D umkehrbar eindeutig zu einer totalen Abbildung fortsetzen, indem man einen beliebigen festen Funktionswert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy"> festschreibt, der nicht in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}" loading="lazy"> enthalten ist; und diese Operation stellt eine bijektive Abbildung auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (Z\cup \{c\})^{D}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (Z\cup \{c\})^{D}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e2e4ed921e9a9d7f82eee4cc85ee1f301b6d168.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.997ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (Z\cup \{c\})^{D}}" loading="lazy"> dar.

Jede partielle Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=(G_{f},X,Z)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=(G_{f},X,Z)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5399be7ac46b7ca49d57e267c5958db5b4affdf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:14.878ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f=(G_{f},X,Z)}" loading="lazy"> ist im Wesentlichen gleich mit der (totalen) Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (G_{f},Db(f),Z)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (G_{f},Db(f),Z)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75381defe3c70e34b95a5ba3c59cc11b547e16bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:14.53ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (G_{f},Db(f),Z)}" loading="lazy"> mit der Urbildmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Db(f):=\{x\in {X}\mid \exists y\in Z\colon (x,y)\in G_{f}\}}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Db(f):=\{x\in {X}\mid \exists y\in Z\colon (x,y)\in G_{f}\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5526318c83cf3daecbbce9d69bf3bdbbf1bdbfe0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:39.303ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle Db(f):=\{x\in {X}\mid \exists y\in Z\colon (x,y)\in G_{f}\}}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Funktionen_mit_Werten_in_einer_echten_Klasse">Funktionen mit Werten in einer echten Klasse</h3></div>

Häufig liegen die Werte einer Funktion nicht in einer Zielmenge, sondern lediglich in einer <a href="Echte_Klasse" class="mw-redirect" title="Echte Klasse">echten Klasse</a>, beispielsweise sind <a href="Mengenfolge" title="Mengenfolge">Mengenfolgen</a> „Funktionen“ mit Definitionsmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {N} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {N} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fdf9a96b565ea202d0f4322e9195613fb26a9bed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {N} }" loading="lazy"> und Werten in der <a href="Allklasse" title="Allklasse">Allklasse</a>. Um die mengentheoretischen Probleme, die sich daraus ergeben, zu vermeiden, betrachtet man nur noch den Graph der entsprechenden Funktion, genauer: Ein funktionsartiger Graph ist eine Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"> von <a href="Geordnetes_Paar" title="Geordnetes Paar">Paaren</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/41cf50e4a314ca8e2c30964baa8d26e5be7a9386.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.328ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y)}" loading="lazy">, sodass keine zwei Paare im ersten Eintrag übereinstimmen:<a href="#cite_note-16">[16]</a>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x,y_{1},y_{2}\colon (x,y_{1}),(x,y_{2})\in G\implies y_{1}=y_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4c15c5877d0c7833142903433a645d005240955e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:42.417ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall x,y_{1},y_{2}\colon (x,y_{1}),(x,y_{2})\in G\implies y_{1}=y_{2}}" loading="lazy"></dd></dl>

Definitions- und Wertemenge sind tatsächlich Mengen, aber es ist nicht nötig, sich von vornherein auf eine Zielmenge festzulegen, solange die Funktionen im Wesentlichen gleich sind.

Bei partiellen Funktionen gilt Gleiches für den Ziel- und Quellbereich. Beide können einzeln oder zusammen echte Klassen sein; mengentheoretische Probleme entstehen nicht, solange der Graph eine Menge bleibt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Symbolik">Symbolik</h2></div>

Für Funktionen gibt es zahlreiche symbolische Schreibweisen, die jeweils einige spezielle Eigenschaften der Funktion ausdrücken. Im Folgenden werden einige wichtige genannt.

<th>Symbol

</th>

<th>Erklärung

</th></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\to B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6dec1893560fabff9fa9c17b83b71f7f97996119.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.434ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\to B}" loading="lazy"></td>

<td>Funktion von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon a\mapsto b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ca204dfc3b1a444074d2cb30fa89cc3455d9102f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.154ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon a\mapsto b}" loading="lazy">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(a)=b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aed79484c7845e9abd1b1e8a32959e7e2a9d25fa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.414ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(a)=b}" loading="lazy">

</td>

<td>Funktion, die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> abbildet; statt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> kann auch ein Term o. Ä. stehen

</td></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,b)\in f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ee8f33a5f38ac7e0c68be7d9f263b8a1a33c54ef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.19ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a,b)\in f}" loading="lazy">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,b)\in G_{f}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d696a5bfb1f79df4eb31a5ece4bd7ca31566b363.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.874ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (a,b)\in G_{f}}" loading="lazy">

</td>

<td>Funktion, die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> abbildet; statt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> kann auch eine Formel o. Ä. stehen (mengentheoretische Schreibweise)

</td></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon a\mapsto f(a):=b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dc09091433661198d4f6ec6604328829e9c88864.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.217ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f\colon a\mapsto f(a):=b}" loading="lazy"></td>

<td>Funktion, die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> abbildet, die die elementweise Zuordnung mit Beschreibung der Funktionssymbolik (statt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(a)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(a)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/368cb4b81ba5754d7a354a4ce49c2f1084bdaace.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.318ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(a)}" loading="lazy"> stehen oft Dinge wie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{{-}1},\;{\overline {a}},\;a\cdot c}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{{-}1},\;{\overline {a}},\;a\cdot c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e4198c4d1f31305a9f078a011912a8f38972704.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.181ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle a^{{-}1},\;{\overline {a}},\;a\cdot c}" loading="lazy"> u. Ä.) und der Formel o. Ä. (an der Stelle von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy">) zur Berechnung des Bildes angibt

</td></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\to B,\,a\mapsto f(a):=b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/42891d2b430f4d5077f6f35c66cffc62a7730a97.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.759ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\to B,\,a\mapsto f(a):=b}" loading="lazy"></td>

<td>Ausführlichste Notation, die alle beteiligten Mengen und die elementweise Zuordnung mit Beschreibung der Funktionssymbolik und der Formel o. Ä. zur Berechnung des Bildes angibt

</td></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\twoheadrightarrow B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4464cc69dafcbc42e295746adc690685d118afe6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.434ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\twoheadrightarrow B}" loading="lazy"></td>

<td><a href="Surjektivit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Surjektivität">surjektive</a> Funktion (Surjektion) von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\rightarrowtail B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cb8dff8b68095224bc9c0d420f449b008361db89.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.692ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\rightarrowtail B}" loading="lazy"></td>

<td><a href="Injektivit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Injektivität">injektive</a> Funktion (Injektion) von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

<td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\leftrightarrow B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5aeb2cf139de69e366f9b2fac5a2b863e38577df.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.434ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\leftrightarrow B}" loading="lazy"><a href="#cite_note-17">[17]</a>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\rightleftarrows B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f90785f4d0b02b241ff8236d8fe615f3e2b22be9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.434ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\rightleftarrows B}" loading="lazy">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\;{\!\;\twoheadrightarrow \;\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\rightarrowtail }\;B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/83ba090d7e7fc4937b4ddb13929dccbe26ac0ab5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.693ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\;{\!\;\twoheadrightarrow \;\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\rightarrowtail }\;B}" loading="lazy">

</td>

<td><a href="Bijektivit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Bijektivität">bijektive</a> Funktion (Bijektion) von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\hookrightarrow B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/18aeca0433bb531379c0d4a27b8efbb1a371518c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.726ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\hookrightarrow B}" loading="lazy"></td>

<td><a href="Inklusionsabbildung" title="Inklusionsabbildung">Inklusionsabbildung</a>, natürliche Inklusion, natürliche Einbettung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> ist Untermenge von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy">, und die Funktion bildet jedes Element von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> auf sich ab)

</td></tr>

<tr>

<td>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=\operatorname {id} _{A}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2cd195850367f4b303adaf9169a1971b111f9ea3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.781ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f=\operatorname {id} _{A}}" loading="lazy">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\to A,\,a\mapsto a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/268d9568abee0e3562b2d5ddd517fa31422e4483.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.908ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\to A,\,a\mapsto a}" loading="lazy">

</td>

<td>Identität, <a href="Identische_Abbildung" title="Identische Abbildung">identische Abbildung</a> auf A oder von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> (die Funktion bildet jedes Element auf sich ab)

</td></tr>

<tr>

<td>

<mover>

</mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\;{\stackrel {\cong }{\to }}\;B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4079de2e8a8e9c9820bc6d7eb2b5236a97bea88f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.434ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\;{\stackrel {\cong }{\to }}\;B}" loading="lazy">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\cong B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf4c9c52da01aee387bafcbe45d03172fd61e173.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.918ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\cong B}" loading="lazy">

</td>

<td><a href="Isomorphismus" title="Isomorphismus">Isomorphismus</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\rightharpoonup B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a4debbfa8e1ea4d423b63e34d2181449868d4bf0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.434ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\rightharpoonup B}" loading="lazy"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon A\rightsquigarrow B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\rightsquigarrow B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f4aa4accb5c32cabb753dcc6f74c62faa2b2c53a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.434ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\rightsquigarrow B}" loading="lazy"></td>

<td>partielle Funktion (s. o.) von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\multimap B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87c2fa6fad85a8a8ec46d80bac3b429101a3d089.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.692ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\multimap B}" loading="lazy"></td>

<td>mehrwertige Funktion, Multifunktion, <a href="Korrespondenz_(Mathematik)" title="Korrespondenz (Mathematik)">Korrespondenz</a> (s. o.) von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [A\to B]=B^{A}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dd84487e3ecce4319bfbc282ef2adb22713f616a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.742ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle [A\to B]=B^{A}}" loading="lazy"> (bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [A\rightharpoonup B]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [A\rightharpoonup B]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9cf08908d7847e96631a3b47862b405584be38fb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.415ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [A\rightharpoonup B]}" loading="lazy"> …)</td>

<td>Menge der Funktionen (bzw. partiellen Funktionen), … von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"><a href="#cite_note-noekla-4">[4]</a>

</td></tr></tbody></table>

Die Symbole können auch, wo sinnvoll, miteinander kombiniert werden.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Heinz-Dieter_Ebbinghaus" title="Heinz-Dieter Ebbinghaus">Heinz-Dieter Ebbinghaus</a>: Einführung in die Mengenlehre. 4. Auflage. Spektrum, Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 2003, ISBN 3-8274-1411-3.</li>

<li><a href="Paul_R._Halmos" class="mw-redirect" title="Paul R. Halmos">Paul R. Halmos</a>: Naive Mengenlehre (= Moderne Mathematik in elementarer Darstellung. Bd. 6). Übersetzt von Manfred Armbrust und Fritz Ostermann. 5. Auflage. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1994, ISBN 3-525-40527-8.</li>

<li><a href="Arnold_Oberschelp" title="Arnold Oberschelp">Arnold Oberschelp</a>: Allgemeine Mengenlehre. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1994, ISBN 3-411-17271-1.</li>

<li>Adolf P. Youschkevitch: The Concept of Function up to the Middle of the 19th Century. In: Archive of the History of Exact Sciences. 16, Springer Verlag, Berlin 1976.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a href="https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Abbildung,_Funktion" class="extiw external" title="b:Mathe für Nicht-Freaks: Abbildung, Funktion">Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Abbildung, Funktion</a> – Lern- und Lehrmaterialien</div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Funktion" class="extiw external" title="wikt:Funktion">Wiktionary: Funktion</a> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Functions_(mathematics)?uselang=de">Commons: Funktionen</a> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise_und_Anmerkungen">Einzelnachweise und Anmerkungen</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Funktionen, deren Zielmengen sich nur in diesen (wertlosen) Nichtbild-Elementen unterscheiden, werden gelegentlich als gleich angesehen, insbesondere dann, wenn keine von ihnen <a href="#Injektivität,_Surjektivität,_Bijektivität">surjektiv</a> ist. Also:

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}&f_{1}\colon {\begin{cases}D_{1}\to Z_{1}\\x\mapsto y\end{cases}}\;=\;f_{2}\colon \,{\begin{cases}D_{2}\to Z_{2}\\x\mapsto y\end{cases}}\qquad :\Longleftrightarrow \\&(D_{1}=D_{2}=:D)\land {\bigl (}\forall x\in D\colon f_{1}(x)=f_{2}(x){\bigr )}\land {\bigl (}Z_{1}\supset f_{1}(D)=f_{2}(D)\subset Z_{2}{\bigr )}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/35e58a5667c9033b60d27ace30fc7589a4621812.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; width:75.328ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}&f_{1}\colon {\begin{cases}D_{1}\to Z_{1}\\x\mapsto y\end{cases}}\;=\;f_{2}\colon \,{\begin{cases}D_{2}\to Z_{2}\\x\mapsto y\end{cases}}\qquad :\Longleftrightarrow \\&(D_{1}=D_{2}=:D)\land {\bigl (}\forall x\in D\colon f_{1}(x)=f_{2}(x){\bigr )}\land {\bigl (}Z_{1}\supset f_{1}(D)=f_{2}(D)\subset Z_{2}{\bigr )}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

</li>

<li id="cite_note-Halmos-2"><a href="#cite_ref-Halmos_2-0">↑</a> Paul R. Halmos: <cite style="font-style:italic">Naive Mengenlehre</cite>. 1994, Kapitel 8, S. 43.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Funktion+%28Mathematik%29&rft.atitle=Kapitel+8&rft.au=Paul+R.+Halmos&rft.btitle=Naive+Mengenlehre&rft.date=1994&rft.genre=bookitem&rft.pages=43" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Seltener in Anlehnung an die Mengenschreibweise äquivalent <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (f(x)\mid x\in N)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (f(x)\mid x\in N)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/338377987794b4e50f4cba117719bc4bb5c229c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.398ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (f(x)\mid x\in N)}" loading="lazy">.

</li>

<li id="cite_note-noekla-4">↑ <a href="#cite_ref-noekla_4-0">a</a> <a href="#cite_ref-noekla_4-1">b</a> <a href="#cite_ref-noekla_4-2">c</a> Teilweise auch ohne die eckigen Klammern notiert.

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> Nicholas Higham: <cite style="font-style:italic">Functions of Matrices: Theory and Computation</cite>. Hrsg.: SIAM, Philadelphia (= <cite style="font-style:italic">Other Titles in Applied Mathematics</cite>). 2008, ISBN 978-0-89871-646-7.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Funktion+%28Mathematik%29&rft.au=Nicholas+Higham&rft.btitle=Functions+of+Matrices%3A+Theory+and+Computation&rft.date=2008&rft.genre=book&rft.isbn=9780898716467&rft.series=Other+Titles+in+Applied+Mathematics" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> M. Kronfellner: Historische Aspekte im Mathematikunterricht. Verlag Hölder-Pichler-Tempsky, Wien 1998, S. 67.

</li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> Adolf P. Youschkevitch: The Concept of Function up to the Middle of the 19th Century. In: Archive of the History of Exakt Sciences. 16, Springer Verlag, Berlin 1976, S. 52.

</li>

<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> D. Rüthing: Einige historische Stationen zum Funktionsbegriff. In: Der Mathematikunterricht. Heft 6/1986, Friedrich Verlag Velber, S. 5–6.

</li>

<li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> H.-J. Vollrath: Algebra in der Sekundarstufe. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim 1994, S.  118.

</li>

<li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> Rüthing, S. 6–12.

</li>

<li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. 1994.

</li>

<li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">↑</a> Klassenfunktion genannt, siehe Claudius Röhl: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://ul.qucosa.de/api/qucosa%3A16622/attachment/ATT-0/">Das Auswahlaxiom.</a> Diplomarbeit Univ. Leipzig, Fakultät für Mathematik, 6. Oktober 2016, S. 18.

</li>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\mapsto \{y\in {Y}\mid (x,y)\in f\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fbe38fc87733daa94f751adc1340a5fb466e1c19.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.423ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\mapsto \{y\in {Y}\mid (x,y)\in f\}}" loading="lazy"> entsprechend der vereinfachten Funktionsdefinition mit Funktion = Graph. Alternative Bezeichnungsweisen:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aed80a2011a3912b028ba32a52dfa57165455f24.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Phi }" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {f}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {f}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f6cb99679a4b79cb5ca3c242811bd91220c91f2e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.699ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {f}}}" loading="lazy"> für die Korrespondenz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \kappa _{f}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \kappa _{f}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fdc7d361fdfc25e18a91c1ad098cbafed86a8e06.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.475ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \kappa _{f}}" loading="lazy"> zur Multifunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy">, im Fall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y=X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y=X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/213f9e0bf2b88042d7d90cf9e765ae8201743d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.852ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Y=X}" loading="lazy"> (<a href="Transitionsrelation" title="Transitionsrelation">Transitionsfunktion</a>) auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta }" loading="lazy"></li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \wp (Y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f256cd99f93dee663da2c3cc164f7b033f168ef6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.061ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \wp (Y)}" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {(}}Y)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {(}}Y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d8b33c19be3763e089a83a531378e0d16d9a9804.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.583ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {(}}Y)}" loading="lazy"> für die Potenzmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {P}}(Y)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {P}}(Y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b078ac221848d7425500f94408b89c9de2251a7e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.286ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {P}}(Y)}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"></li></ul>

</li>

<li id="cite_note-HKönig_S21-14">↑ <a href="#cite_ref-HKönig_S21_14-0">a</a> <a href="#cite_ref-HKönig_S21_14-1">b</a> H. König: <cite style="font-style:italic">Entwurf und Strukturtheorie von Steuerungen für Fertigungseinrichtungen</cite> (= <cite style="font-style:italic">ISW Forschung und Praxis</cite>. Band 13). Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1976, ISBN 3-540-07669-7, S. 15–17, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-642-81027-5_1">10.1007/978-3-642-81027-5_1</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Funktion+%28Mathematik%29&rft.au=H.+K%C3%B6nig&rft.btitle=Entwurf+und+Strukturtheorie+von+Steuerungen+f%C3%BCr+Fertigungseinrichtungen&rft.date=1976&rft.doi=10.1007%2F978-3-642-81027-5_1&rft.genre=book&rft.isbn=3540076697&rft.pages=15-17&rft.place=Berlin%2FHeidelberg&rft.pub=Springer-Verlag&rft.series=ISW+Forschung+und+Praxis" style="display:none">  Hier: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?hl=de&id=LXigBgAAQBAJ&q=%22sind%20dann%20gleichm%C3%A4chtig%22#v=onepage&f=false">Seite 21 f.</a>

</li>

<li id="cite_note-15"><a href="#cite_ref-15">↑</a> Wie immer für zweistellige Relationen; wir fassen die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> als zweistellige Relation auf, erst recht ihre Umkehrung.

</li>

<li id="cite_note-16"><a href="#cite_ref-16">↑</a> <a href="Nicolas_Bourbaki" title="Nicolas Bourbaki">Nicolas Bourbaki</a>: Éléments de mathématiques. Théorie des Ensembles. II.

</li>

<li id="cite_note-17"><a href="#cite_ref-17">↑</a> Die Notation <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\leftrightarrow B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\leftrightarrow B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/936ab098710910e69e56ec2734dd89063ce21efa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.121ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\leftrightarrow B}" loading="lazy"> wird manchmal abweichend für (beliebige) Relationen gebraucht.

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-12-27" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Funktion_(Mathematik)&oldid=262776566">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

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</main>

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</body></html>